그람 슈미트 예제

또한 그람-슈미트 프로세스의 파라메트화 버전은 일반 선형 그룹 G L (R n) {디스플레이 스타일 GL(mathbf {R} ^{n}}의 변형 을 직교 그룹 O (R n)에 생성합니다. 유클리드 내부 제품으로 $V=R^{3}$를 보자. Gram-Schmidt 알고리즘을 적용하여 $left{(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,2)right$를 기준으로 교정합니다. Gram-Schmidt 프로세스가 선형 종속 시퀀스에 적용되는 경우 vi가 v1, …, vi−1의 선형 조합이라고 가정하여 ith 단계에서 0 벡터를 출력합니다. 교정법 기초를 생성할 경우 알고리즘은 출력에서 0 개의 벡터를 테스트하고 0 벡터의 배수가 1의 길이를 가질 수 없기 때문에 이를 폐기해야 합니다. 그러면 알고리즘에 의해 출력되는 벡터 수는 원래 입력에 의해 스팬된 공간의 차원이 됩니다. Gram-Schmidt 프로세스는 선형으로 독립적인 카운트 무한 시퀀스 {vi}i에도 적용됩니다. 결과는 직교 (또는 직교 정상) 시퀀스 {ui}i 자연 번호 n : v1의 대수 범위, …, vn은 u1, …, un의 대수 범위와 동일합니다. 다른 정형화 알고리즘은 가정용 변환 또는 주어진 회전을 사용합니다. 가정용 변환을 사용하는 알고리즘은 안정화된 Gram-Schmidt 프로세스보다 더 안정적입니다. 반면에 Gram-Schmidt 프로세스는 j {displaystyle j} th 반복 후에 직교 벡터를 생성하고, 가정용 반사를 사용하는 교정은 모든 벡터를 끝에서만 생성합니다. 따라서 그람-슈미트 프로세스만 Arnoldi 반복과 같은 반복 메서드에 적용할 수 있습니다.

여기서 D 0=1 및 j ≥ 1의 경우, D j는 양자 역학에서 그램 결정자이며 원래 그람-슈미트보다 특정 애플리케이션에 더 적합한 특성을 가진 여러 직교 화 계획이 있다. 그럼에도 불구하고, 그것은 심지어 가장 큰 전자 구조 계산을위한 인기있고 효과적인 알고리즘 남아있다. [3] 이 방법은 외르겐 페데르센 그램과 에르하르트 슈미트의 이름을 따서 명명되었지만, 피에르 시몬 라플라스는 그람과 슈미트 이전에 도리어 잘 알고 있었다. [1] 라이 그룹 분해이론에서는 이와사와 분해에 의해 일반화된다. Gram-Schmidt에 대한 결정자 수식은 위에서 설명한 재귀 알고리즘보다 계산 속도가 느립니다(기하급수적으로 느립니다.) 그것은 주로 이론적 인 관심입니다. 이 프로세스가 컴퓨터에서 구현될 때 벡터 u k {displaystyle mathbf {u} _{k}}는 반올림 오류로 인해 직교가 아닌 경우가 많습니다. 위에서 설명한 바와 같이 그램-슈미트 프로세스의 경우(때로는 «클래식 그람-슈미트»라고도 함) 직교의 이 손실은 특히 나쁘다; 따라서(클래식) 그람-슈미트 공정은 수치적으로 불안정하다고 한다. 그람 슈미트 프로세스 페이지에서 $V$가 내부 제품 공간이고 ${ v_1, v_2, …, v_n}$가 $V$의 선형 독립 벡터 집합인 경우, 우리는 직교 정규 벡터 집합을 구성할 수 있습니다 .{e_1, e_2, …, e_n}$ $V : Gram-Schmidt 공정을 전체 컬럼 랭크 매트릭스의 컬럼 벡터에 적용하면 QR 분해가 생성됩니다(직교 및 삼각형 행렬로 분해됨).

Gram-Schmidt 공정의 결과는 결정자를 사용하여 비재귀 수식으로 표현될 수 있다. 수학, 특히 선형 대수 및 수치 분석에서 Gram-Schmidt 프로세스는 내부 제품 공간에서 일련의 벡터를 직교정규화하는 방법이며, 가장 일반적으로 는 표준 내부 제품을 갖춘 유클리드 공간 Rn입니다. Gram-Schmidt 프로세스는 k ≤ n에 대해 유한하고 선형적으로 독립적인 세트 S = {v1, …, vk}를 취하고 직교 세트 S′= {u1, …, uk}를 생성하여 S와 동일한 k 차원 서브스페이스에 걸쳐 있습니다.