Modele division euclidienne

Les mêmes arguments que ci-dessus s`appliquent à la Division des polyiaux avec le reste. Ainsi, l`algorithme euclidien peut être utilisé pour trouver le «plus grand» facteur commun du numérateur et du dénominateur dans une expression rationnelle. «Plus grand» dans ce contexte signifie «degré le plus élevé possible». Une constante (non nulle) multipliant un tel facteur (polynomial) plus important n`a pas d`importance, et nous pouvons le choisir commodément selon l`application. Dans le paquet de calcul Maple le GCD entier est implémenté avec IGCD et l`algorithme euclidien avec igcdex. Pour les polyials, utilisez GCD et gcdex. Il y a deux ingrédients qui font le travail d`algorithme euclidien: Supposons qu`une tarte a 9 tranches et ils doivent être répartis uniformément entre 4 personnes. En utilisant la division euclidienne, 9 divisé par 4 est 2 avec le reste 1. En d`autres termes, chaque personne reçoit 2 tranches de tarte, et il ya 1 tranche de gauche. Bien sûr, nous aurions pu résoudre les problèmes dans ces exemples particuliers en énumérant tous les facteurs des nombres impliqués et en trouvant le plus grand. Une autre technique est de trouver tous les principaux facteurs et de voir ceux qui sont communs aux nombres. Ces techniques fonctionnent très bien pour les petits nombres. La puissance de l`algorithme euclidien devient évidente lorsque les facteurs ne sont pas évidents, c.-à-d., quand nous avons un grand nombre.

Considérez cet exemple: que bien que «division euclidienne» est nommé d`après Euclid, il semble qu`il ne connaissait pas l`existence et le théorème d`unicité, et que la seule méthode de calcul qu`il connaissait était la division par soustraction répétée. L`algorithme euclidien procède en divisant par, avec le reste, puis en divisant le diviseur par le reste, et en répétant ce processus jusqu`à ce que le reste soit nul. Le plus grand facteur commun et est le dernier diviseur. (Remarquez qu`à aucun moment vous ne prêterez attention au quotient actuel.) En règle générale, une preuve d`existence ne fournit pas un algorithme pour calculer l`objet existant, mais la preuve ci-dessus fournit immédiatement un algorithme (voir Division Algorithm # division par soustraction répétée). Cependant, ce n`est pas une méthode très efficace, car il nécessite autant d`étapes que la taille du quotient. Cela est lié au fait qu`il utilise uniquement l`addition, la soustraction et la comparaison des entiers, sans impliquer la multiplication, ni aucune représentation particulière des entiers, telles que la notation décimale. Division euclidienne, et les algorithmes pour le calculer, sont fondamentaux pour de nombreuses questions concernant les entiers, tels que l`algorithme euclidien pour trouver le plus grand diviseur commun de deux entiers, et l`arithmétique modulaire, pour lequel seuls les restes sont considérés. L`opération consistant à calculer uniquement le reste est appelée opération modulo. Des exemples de domaines euclidiens incluent des champs, des anneaux polynomiaux dans une variable sur un champ et les entiers gaussiens. La division euclidienne des polyiales a fait l`objet de développements spécifiques. Voir polynôme Division longue, polynomial plus grande commune Divisor # division euclidienne et polynomial plus grand commun Divisor # Pseudo-séquences restantes.

La division n`est pas définie dans le cas où b = 0; Voir division par zéro. Nous prouverons la Division et les algorithmes euclidiens pour cette bague, mais nous devons d`abord décider quand un entier gaussien est plus grand ou plus petit qu`un autre.